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Beispiele für die Berechnungen von Sedimentationszentrifugen

Inhaltsverzeichnis:

Sedimentationszentrifugen

Um die Hauptkenngrößen zur Berechnung von Sedimentationszentrifugen festlegen zu können, betrachten wir den zylindrischen Rotorteil mit einer Länge von (L) und einem Innenradius von (R). Die Flüssigkeit fließt dort mit einer Höhe von (h) des Flüssigkeitsringes und mit einer Durchflussmenge von Q. Der Innenradius des gebildeten Flüssigkeitsringes bezeichnen wir als (r). Geben wir solche Mittelgröße, wie eine durchschnittliche Fließgeschwindigkeit entlang der Rotorachse (vA) ein, die als Volumenstrom der Suspension bezeichnet werden kann, geteilt durch die Querschnittsfläche der perpendikular zu der Rotorachse fließenden Strömung (F):

VA = Q/F = Q/(2·π·h·rm)

Wobei
rm = (R+r)/2 mittlerer Radius des Flüssigkeitsringes in m ist.

Beispiele für die Berechnungen von Sedimentationszentrifugen

Im Weiteren bestimmen wir die Sedimentationsgeschwindigkeit des Teilchens im Schwerefeld, d.h. im Inneren des Flüssigkeitsringes. Anders gesagt, der Teilchen, die am weitesten von der Rotorinnenfläche liegen, die für sie als Absetzfläche gilt. Diese Geschwindigkeit (vrad) kann aus der Sedimentationsgeschwindigkeit des gleichen Teilchens im Schwerkraftfeld (vSt) ausgedrückt werden, die gemäß dem Stokesschen Gesetz ermittelt wurde:

VSt = [d²·(ρFFl)·g] / (18·μ),

wobei
d der Durchmesser des Teilchens in m ist;
ρF ist die Dichte des Teilchens in kg/m³;
ρFl ist die Dichte der Flüssigkeit in kg/m³;
g ist die Erdbeschleunigung in m/s²;
μ ist die dynamische Viskosität des Flüssigkeit in Pa·s.

Dieser Zusammenhang zwischen der Sinkgeschwindigkeit des Teilchens im Zentrifugalfeld und der Sinkgeschwindigkeit des gleichen Teilchens im Schwerkraftfeld wird durch folgende Formel mit Froude-Zahl ausgedrückt:

Vrad = (vSt/g) · Fr,

wobei Fr = (ω²·R)/g die Froude-Zahl ist;
ω ist die Winkelgeschwindigkeit des Rotors in s-1.

Wie im Fall einer normalen Sedimentation ist hier die Voraussetzung für eine vollständige Abtrennung der Feststoffteilchen die Gleichung der Sinkzeit der von Trommelwänden entfernten Teilchen (τA) und derer Verweilzeit in der Zentrifuge (τV):

ΤS = τV

Diese Gleichung kann anders dargestellt werden:

L/vS= h/vrad

Setzen wir die Variablen in die früher ermittelten Gleichungen ein:

(L·2·π·h·rm)/Q = (h·g)/(vSt·Fr)

Die Höhe des Flüssigkeitsringes ist in den Zentrifugen in der Regel gering, ausgehend davon kann man annehmen, dass R = rm. Danach können wir die Kenngrößen so zum Ausdruck bringen, wobei F die Absetzfläche der Zentrifuge ist. Zur Bestimmung des Volumenstroms durch die Absetzzentrifuge verwenden wir wie folgt die Gleichung:

Q = (F·vSt·Fr)/g

In der Praxis gibt es viele Faktoren, die die Berechnung der Zentrifugen wesentlich beeinflussen können. Dazu wird der Gleichung für Q-Berechnung  ein Koeffizient β hinzugefügt, um diese Faktoren in jedem Fall berücksichtigen zu können:

Q = β·[(F·vSt·Fr)/g]

Die Kenngröße F·Fr wird durch die Größe Σ ersetzt, die die Wirkung einer Zentrifuge charakterisiert. Durch die Versuche wurde festgestellt, dass der Wirkungsindex von einer Strömungsart der Flüssigkeit auch abhängig ist:

Σ = F·Fr ist eine laminare Strömung;
Σ = F·Fr0,73 ist die Übergangsströmung (transiente Strömung);
Σ = F·Fr0,5 ist eine turbulente Strömung.

Darüber hinaus kann man eine Schlussfolgerung ziehen, dass die laminare Strömung für die Erreichung eines guten Wirkungsindexes besonders vorteilhaft ist.

Berechnung von Filterzentrifugen

Wie auch im Falle der Berechnungen von Absetzzentrifugen weisen die Berechnungen von Filterzentrifugen eine Reihe von Gesetzmäßigkeiten auf, die mit dem einheitlichen Arbeitsprinzip der Filter verbunden sind. Der Sedimentationsvorgang im Zentrifugalfeld unterscheidet sich durch mehrere Merkmale.

Allgemeine Gleichung für die Bestimmung des theoretischen Volumenstroms von Zentrifugen sieht wie folgt aus:

Q = a·Σ,

wobei Q der Volumenstrom der Zentrifuge in m³/s ist;
a ist der Korrekturkoeffizient, der vom Zentrifugentyp abhängig ist (bei den Filterzentrifugen wird die Größe а durch eine Filtrationskonstante k ersetzt, die erfahrungsmäßig ermittelt wird);
Σ ist der Wirkungsindex.

Dementsprechend wird der Wirkungsindex folgendermaßen bestimmt:

Σ = Fm·Km

Dabei ist Fm = 2·π·L·(R+r) mittlere Trennungsfläche in m²;
L ist die Trommellänge in m;
R ist innerer Radius des Zentrifugenrotors in m;
r ist innerer Radius )] / [2·g] – mittlerer Trennfaktor der Zentrifuge;
ω ist die Winkelgeschwindigkeit des Zentrifugenrotors in s-1;
g ist die Erdbeschleunigung in m/s.

Durch den Einfluss von unterschiedlichen Faktoren (wie die Gleitung der Flüssigkeit an der Zentrifugentrommel usw.) ist der reale Volumenstrom kleiner als der des theoretischen Volumenstroms. Um diese Faktoren berücksichtigen zu können, kommt in die Gleichung für den Volumenstrom der Filterzentrifuge der Korrekturfaktor (ζ) zum Einsatz, der als Wirkungsfaktor bezeichnet wird. Die Endgleichung sieht wie folgt aus:

Q = ζ·a·Σ

Die Berechnung des Volumenstromes von diskontinuierlich arbeitenden Filterzentrifugen wird nach anderer Formel durchgeführt:

Q = a·√τb·Vr·Σ

Dabei ist
a der Korrekturbeiwert, der die Widerstandskraft  charakterisiert;
τb die Zeit der Suspensionsaufgabe in s;
Vb = π·L·(R²-r²) ist das Arbeitsvolumen der Trommel in m³.

Um eine mittlere maximale Wirkung der Filterzentrifuge erreichen zu können, wird die Größe τb mit der Summe von den Zeiten angenommen, die für das Zentrifugieren (τZ) und für den Austrag von Filterkuchen (τFK) gebraucht werden:

Τb = τZFK

Bei der Berechnung der Leistung von Zentrifugen ermittelt man die Antriebsleistung (NAnt) und die Betriebsleistung (Nb). Die Antriebsleistung kommt aus folgenden Größen zu Stande:

NAnt = NStart+NL+NT [KW]

Dabei ist
Nstart die Anlassleistung in W; 
NL ist die erhöhte Leistung, die mit der mechanischen Reibung der Lager verbunden ist, W;
NT ist die für die Reibung der Trommel eingesetzte Leistung, W .

Die Betriebsleistung wird aus folgenden Größen gebildet:

Nb = NFl+NF+NL+NT; [KW]

Dabei ist
NFl die Leistung der Zentrifuge, die für die Übertragung der kinetischen Energie an die Flüssigkeit in Suspension eingesetzt wird, W;
NF ist die Leistung der Zentrifuge, die für die Übertragung der kinetische Energie an die Feststoffe in Suspension eingesetzt wird, W;
Die bei dem Anlass der Zentrifuge verwendete Leistung berücksichtigt alle Trägheitsmomente, die beim Starten der Zentrifuge erzeugt werden:

NT = (I·ω²) /(2·10³·τAnl); [KW]

Dabei ist
I das resultierende Trägheitsmoment des Rotors und der Beanspruchung zur Drehachse, kg·m²;
ω ist die Winkelgeschwindigkeit der Zentrifugentrommel, s-1;
τAnl ist die Anlaufzeit der Zentrifuge, s.

Die Leistung, die infolge der mechanischen Reibung der Lager verwertet wird:

NL = [f·ω·Σ(P·d)] / [2·10³]; [KW]

Dabei ist
f der Reibungsweiwert der Lager;
Σ(P·d) ist die Summenproduktion aus dynamischen Belastungen auf die Lager (P, Н) mit den Wellen entsprechender Durchmesser (d, м).

Die Leistung, die infolge der Luftreibung an der Trommel verwertet wird:

NLuft = 12·10-6·ρLuft·Rm·ω²; [KW]

Dabei ist
ρLuft die Luftdichte in kg/m³;
Rm ist der durchschnittliche Außenradius der Trommel in m.

Beispiel Nr. 1.
Berechnung des Durchsatzes von Zentrifugen und Auswahl der Zentrifugen

Beispiele für die Berechnungen von Sedimentationszentrifugen

Aufgabe: Es gibt eine Sedimentationszentrifuge, die mit einer Winkelgeschwindigkeit von ω = 600 U/min. betrieben werden kann. Die Trommel weist folgende Kenndaten auf: innerer Radius beträgt R = 300 mm, die Länge der Trommel beträgt L = 500 mm. Die Zentrifuge dient zur Klärung des Wassers von den festen Schwebeteilchen mit einem Durchmesser von dT = 0,5 mm und einer Dichte ρT = 2100 kg/m³. Für die Berechnung wird die dynamische Viskosität mit μ = 0,001 Pa·s und die Dichte mit ρFl = 1000 kg/m³ angenommen.

Aufgabenstellung: der Durchsatz der Zentrifuge Q ist zu ermitteln.

Lösung: der zu suchende Wert kann nach folgender Formel berechnet werden:

Q = (F·vSt·Fr) / g

Die Größe vSt ist die Sinkgeschwindigkeit im Schwerkraftfeld, die wie folgt bestimmt werden kann (g = 9,81 m/s ist die Erdbeschleunigung):

VSt = [dT²·(ρFFl)·g] / [18·μ] = [0,0005²·9,81·(2100-1000)] / [18·0,001] = 0,15 m/s

Die Absetzfläche F der Trommel kann aus den geometrischen Kenngrößen dieser Trommel ermittelt werden:

F = 2·π·R·L = 2·3,14·0,3·0,5 = 0,942 m2

Fr ist die Froude-Zahl, die durch den Zusammenhang zwischen der Sinkgeschwindigkeit des Teilchens im Zentrifugalfeld und der Sinkgeschwindigkeit des gleichen Teilchens im Schwerkraftfeld charakteristisch ist:

Fr = (ω²·R) / g = ((600/60)²·0,3) / 9,81 = 30,58

Darüber hinaus lautet die Ermittlung der Sinkgeschwindigkeit des Teilchens im Zentrifugalfeld wie folgt:

VZ = (vSt/g)·Fr = (0,15/9,81)·30,58 = 0,47 m/s

Die Größe F·Fr wird in der Regel durch einen Index Σ (Wirkungsindex) ersetzt, dessen Wert vom Trennprinzip der Teilchen abhängt und mit der Reynolds-Zahl bestimmt wird:

Re = (ρFl·vZ·dT) / μ = (1000·0,47·0,0005) / 0,001 = 235

Der sich ergebende Wert der Reynolds-Zahl Re befindet sich im Bereich von 2<Re<500, also geht hier die Rede von einer transienten Strömung, für die die präzisierte Formel zur Ermittlung des Wirkungsindexes folgendermaßen aussieht:

Σ = F·Fr0,73 = 0,942·30,580,73 = 11,44

Setzen wir die sich ergebenden Werte in die Ausgangsgleichung ein und berechnen wir den zu suchenden Wert:

Q = (F·vSt·Fr)/g = (vSt/g)·Σ = (0,15/9,81)·11,44 = 0,17 m³/s.

Antwort: der Durchsatz der Zentrifuge beträgt 0,17 m³/s.

Beispiel Nr. 2.
Berechnung der Antriebsleistung einer Filterzentrifuge

Beispiele für die Berechnungen von Sedimentationszentrifugen

Aufgabe: Es gibt eine Filterzentrifuge, in der die Trennung der Suspension erfolgt, die eine Dichte von ρс = 1100 kg/m³ aufweist. Die Trommel weist die Masse von mб = 200 kg, inneren Durchmesser von R = 0,5 m bei der Wandstärke von b = 0,005 m und die  Länge von L = 0,4 m auf. Die erste Trommelbeschickung beträgt 50% von ihrem Innenvolumen. Die Zeit, in der die Zentrifuge die Betriebsgeschwindigkeit erreicht, beträgt τb = 7 s. Die Winkelgeschwindigkeit der Zentrifuge beträgt ω = 1000 U/min. Für die Berechnung wird die Luftdichte ρLuft mit 1,3 kg/m³ und der Reibungsbeiwert der Lager mit f = 0,05 angenommen. Der Wellenzapfen weist einen Durchmesser von dZ = 80 mm auf. 

Aufgabenstellung: der Antriebsleistung NAnt ist zu ermitteln.

Lösung: die Antriebsleistung (NAnt) bildet sich aus der für die Reibverluste der Lager eingesetzten Leistung (NL), aus der für die Reibungsverluste der Trommel gegenüber der Luft (NLuft) und zur Überwindung des Trägheitsmomentes (NW) verwerteten Leistung:

NAnt = NL+NLuft+NW

Zur Bestimmung der Leistung, die durch Reibverluste in den Lagereinheiten verloren geht, kommt die Formel zum Einsatz, die auf der Masse der Drehteile der Zentrifuge beruht. Unter der Annahme, dass an der Drehbewegung nur die Trommel und die Masse der beschickten Suspension teilnehmen:

NL = f·g·M·vLuft

М ist eine Gesamtmasse der drehenden Teile der Zentrifuge. Die Masse der Trommel ist bereits bekannt. Es bleibt nur die Masse der aufgegebenen Suspension zu bestimmen. Da die Erstbeschickung der Trommel 50% beträgt, können wir nach der Bestimmung ihres Volumens (x mit der Dichte) die Masse mS der Suspension ermitteln:

MS = 0,5·2·π·R·L·ρS = 0,5·2·3,14·0,5·0,4·1100 = 691 kg

Gesamte Masse beträgt in diesem Fall:

M = mTr+mS = 200+691 = 891 kg

Die Umlaufgeschwindigkeit des Zapfens vц wird nach folgender Formel ermittelt:

VZ = ω·dZ/2 = (1000/60)·(0,08/2) = 0,66 m/s

Berechnen wir die Leistung NL:

NL = f·g·M·vLuft = 0,05·9,81·891·0,66 = 288,4 W

Berechnen wir die Leistung NLuft, vorausgesetzt, dass der Außendurchmesser der Trommel RL = R+b beträgt:

NLuft = 0,012·ρLuft·RLuft·ω² = 0,012·1,3·(0,5+0,005)·(1000/60)² = 2,2 W

Unter Annahme, dass die gesamte Drehmasse auf dem inneren Radius R der Trommel konzentriert wird, berechnen wir die Leistung Nс. Das gesamte Trägheitsmoment kann als I = M·R² ausgedrückt werden.

NW = (I·ω²)/(2·τL) = (M·R²·ω²)/(2·τL) = (891·0,5²·(1000/60)²)/(2·7) = 4419,6 W

Jetzt ist es möglich, den zu suchenden Wert zu bestimmen:

NAnt = NL+NLuft+NW = 288,4+2,2+4419,6 = 4710,2 W

Antwort: Die Antriebsleistung beträgt 4,71 KW.


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